博弈數學筆記

這幾篇在回答同一個問題

「長期下來會賠多少，以及短期內會偏離多遠。」

整個博弈數學其實只圍著這兩件事轉。第一件由期望值決定，它是規則寫死的，任何下注策略都改不了。第二件由變異數決定，它是你實際會經歷的東西——同樣的期望值可以是「每次小輸」也可以是「常常小贏、偶爾大輸」。

多數關於賭博的錯誤直覺，都來自把這兩件事混為一談。「今晚手氣好」講的是變異數，「這個遊戲划算」講的是期望值，兩者沒有關係。

八篇的先後順序

如果要照順序讀：先看 期望值是什麼，那是所有其他篇的基礎。接著 RTP 與莊家優勢 說明同一件事的兩種寫法怎麼換算。

再來是 變異數與波動度，它解釋為什麼期望值算得再準，一個晚上的結果還是完全不同。賭徒破產問題 把變異數變成一個具體的問題：這筆錢撐不撐得完。馬丁格爾策略為什麼會輸 是它的應用題：輸了加倍為什麼補不回來。

最後三篇是方法論：凱利公式怎麼推出來的 處理「有優勢時該押多少」，資金管理能做到與做不到的事 處理「沒有優勢時該怎麼分配」，蒙地卡羅模擬在做什麼 說明本站遇到算不出解析解的問題時怎麼處理。

這裡的立場

商業博弈遊戲的長期期望值都是負的。 這不是觀點，是規則本身決定的——莊家優勢就寫在賠付表裡，沒有任何下注策略能改變它。所以這幾篇不會給出「必勝」的打法；能改變的只有你要不要下、下多少。

能做的是把「負多少」變成一個看得到的數字，以及把「會偏離多遠」變成一個範圍。知道一組 15 倍流水的優惠實際上要投注 30,000 元、期望會賠掉 1,200 元，跟只看到「首存送 100%」，是兩種完全不同的決策狀態。

每一篇都寫出完整算式與假設條件，你可以自己驗算，也可以拿去質疑。算錯了請寄信到 service@evlab.tw，更正會標註日期。

算式與工具的對應

每篇筆記都對應到至少一台計算機：期望值對 優惠 EV 判定器、莊家優勢對 RTP 期望值試算、變異數對 老虎機波動度模擬器、破產機率對 賭徒破產機率計算機、凱利對 凱利公式計算機。

看完推導再回去用工具，數字才不會只是數字。