馬丁格爾策略：輸了加倍，為什麼救不了期望值

馬丁格爾策略是什麼

馬丁格爾策略（Martingale，台灣常叫倍投法、馬丁策略）的規則只有兩句：輸了，下一把押前一把的兩倍；贏了，回到底注重來。用在「賠 1 倍、輸贏各約一半」的玩法上，例如輪盤的紅黑、百家樂的莊閒、骰寶的大小。

它的吸引力在算術上成立：不管連輸幾把，只要贏一把，這一把贏的金額剛好等於前面輸掉的總和再加一個底注。底注 100 元、本金 10,000 元押歐式輪盤紅黑，階梯長這樣：

第 1 把　押 100　　輸了累積 −100
第 2 把　押 200　　輸了累積 −300
第 3 把　押 400　　輸了累積 −700
第 4 把　押 800　　輸了累積 −1,500
第 5 把　押 1,600　輸了累積 −3,100
第 6 把　押 3,200　輸了累積 −6,300
第 7 把　要押 6,400：本金只剩 3,700，加不了倍

六把裡任何一把贏了，都是淨賺 100 元，然後回到第 1 把。本金 10,000 元只買得到六次加倍的機會。

連輸六把的機率是多少

歐式輪盤 37 格，紅黑各 18 格、0 一格。押紅，每一把輸的機率 q = 19 ÷ 37 ≈ 0.5135。每一把互相獨立，連輸六把的機率是 q 的六次方：

連輸 3 把　13.54%（約 1/7）　　共輸 700
連輸 4 把　 6.95%（約 1/14）　共輸 1,500
連輸 5 把　 3.57%（約 1/28）　共輸 3,100
連輸 6 把　 1.83%（約 1/55）　共輸 6,300
連輸 7 把　 0.94%（約 1/106）　共輸 12,700
連輸 8 把　 0.48%（約 1/207）　共輸 25,500
連輸 10 把　0.13%（約 1/784）　共輸 102,300

公平的硬幣（每把 50%）連輸六把是 1/64 ≈ 1.56%；輪盤多了那一格 0，變成 1/55。

1.83% 看起來很小，但它不是「這個晚上」的機率，是每一輪的機率。一輪從底注開始、到贏一把為止，平均只有 2.02 把，所以一個晚上押 200 把大約就是 100 輪，每一輪都在抽這張 1.83% 的籤：

• 50 輪裡至少撞到一次連輸六把：60.4%
• 100 輪：84.3%
• 200 輪：97.5%

這是倍投法最容易被低估的地方。「連輸六把很罕見」是對的，「我今晚不會遇到」是錯的——兩句話之間差了一個「輪數」。

期望值一分都沒變

把一輪的兩種結局乘上機率加起來，就是這一輪的期望值：98.17% 的機率淨賺 100 元，1.83% 的機率賠掉 6,300 元。

一輪的期望值
  = (1 − q⁶) × 100 − q⁶ × 6,300
  = 0.98166 × 100 − 0.01834 × 6,300
  = 98.17 − 115.52
  = −17.35 元

一輪平均投注
  = 100 × (1 + 2q + (2q)² + … + (2q)⁵)
  ≈ 642 元
−17.35 ÷ 642 = −2.70%
  剛好是歐式輪盤的莊家優勢 1 ÷ 37

平注 100 元押紅，每一把的期望值是 −2.70 元；倍投一輪平均投注 642 元，期望值就是 642 × (−2.70%)。

為什麼一定會這樣？因為期望值是線性的：E(aX) = a · E(X)。倍投法每一把押的注碼 a 不同，但每一把的 X 都是同一個負期望值的賭局，所以整個序列的期望值就是「總投注額 × 莊家優勢」，注碼怎麼排都一樣。這一條在賭徒破產問題裡也用過：任何注碼序列都只是負期望值的線性組合。

把階梯加深也沒有用。本金夠撐 10 把時，爆掉的機率降到 0.13%（約 1/784），但爆掉那一次賠 102,300 元，一輪的期望值是 −30.56 元，比六把的 −17.35 元更差——因為允許的深度越深，平均投注額越大，乘上同一個 2.70% 的損失就越多。倍投法調整的只有「多久爆一次」與「爆的時候多痛」，兩者相乘永遠是莊家優勢乘總投注。

兩堵牆：本金上限與桌台注金上限

數學上，無限本金、無注金上限、公平賭局（莊家優勢 0）的倍投法，期望值是 0——注意是 0，不是正的，而且三個條件缺一不可。實際上三個條件沒有一個成立。

本金的牆。 底注 100 元要撐 n 把，本金要有 100 × (2ⁿ − 1) 元：6 把 6,300 元，10 把 102,300 元，是底注的 1,023 倍。多數人帶的本金是底注的 50 到 200 倍，也就是撐 5 到 7 把。

注金上限的牆。 每一張桌台都有最高注金。上限除以底注取以 2 為底的對數，就是能加倍的把數：

能加倍的把數 = ⌊log₂(最高注金 ÷ 底注)⌋ + 1
上限是底注的 500 倍：log₂(500) ≈ 8.97
  → 第 9 把之後加不了倍

桌台設最低與最高注金的理由之一就是這個。上限不是為了限制你贏，是為了讓倍投的階梯一定有盡頭。

兩堵牆任何一堵先到，序列就斷了，前面累積的損失全部實現。而且斷在哪一把不是你選的，是連輸的長度決定的。

所以「本金多帶一點就不會爆」是錯的方向：本金從 6,300 加到 102,300 元，換到的是爆掉機率從 1/55 降到 1/784、爆掉金額從 6,300 升到 102,300 元。賭徒破產機率計算機把單注設成本金的一大部分，就能看到這個取捨。

蒙地卡羅模擬：它改變的是形狀

期望值講的是平均，但平均不是你會經歷的東西。下面用蒙地卡羅模擬跑出分布：本金 10,000 元、底注 100 元、歐式輪盤押紅，倍投法與平注各跑 100,000 場，用同一組亂數（種子 20261008）。倍投法加不了倍時回到底注，底注也押不起就算「本金歸零」。

30 把
倍投　平均 −254　中位數 +1,300　歸零 0.3%
　　　賺錢離場 74.4%　輸逾 5,000 元 16.9%
平注　平均 −83　中位數 0　歸零 0%
　　　賺錢離場 36.9%　輸逾 5,000 元 0%
100 把
倍投　平均 −837　中位數 −800　歸零 14.5%
　　　賺錢離場 49.0%　輸逾 5,000 元 31.6%
平注　平均 −273　中位數 −200　歸零 0%
　　　賺錢離場 35.5%　輸逾 5,000 元 0%
200 把
倍投　平均 −1,476　中位數 −3,400　歸零 33.5%
　　　賺錢離場 38.6%　輸逾 5,000 元 46.1%
平注　平均 −541　中位數 −600　歸零 0%
　　　賺錢離場 32.7%　輸逾 5,000 元 0.1%

平均損失除以平均投注額，六組都在 2.7% 到 2.8% 之間——倍投法平均投注額是平注的 2.7 到 3 倍，平均損失也就是 2.7 到 3 倍。

30 把那一列就是倍投法的全部魅力：四分之三的人帶著獲利離場，中位數是賺 1,300 元。平注只有三分之一的人是賺的。如果你只玩一個晚上、只玩一次，倍投法確實比較可能讓你開心地回家。

但同一列的另一半：17% 的人輸掉 5,000 元以上，平注一個都沒有。拉長到 200 把，倍投法有三分之一的人本金歸零、中位數是輸 3,400 元，平注輸超過 5,000 元的只有千分之一。

這就是「改變形狀、不改變平均」的意思。倍投法把平注的「每次小輸」重新包裝成「多數時候小贏、偶爾大輸」，而大輸的那幾次剛好把所有小贏吃掉再多吃 2.7%。變異數那一篇講的「期望值相同、體驗不同」，倍投法是最極端的例子。

反馬丁格爾、小步加碼：換湯不換藥

同一個數學適用於所有「依前一把結果調整注碼」的系統：

• 反馬丁格爾（贏了加倍、輸了回底注）：把形狀反過來，變成「多數時候小輸、偶爾大贏」。期望值一樣是總投注 × 莊家優勢。
• 達朗貝爾（輸了加一個底注、贏了減一個底注）：階梯變緩，撞牆變慢，爆掉時賠得比較少，但平均損失仍然是總投注的 2.7%。
• 費波那契（注碼照 1、1、2、3、5、8 走）：介於兩者之間，結論相同。

交易市場裡的「馬丁策略」「馬丁格爾機器人」是同一個數學：虧損時加碼攤平，需要的資金隨連續虧損的次數指數成長，而行情不保證在資金用完之前反轉。本站只談賭局，但那條算式一樣適用。

唯一能改變期望值的是 p 與賠率，而那兩個數字寫在遊戲規則裡，不在你的注碼表上。資金管理能做到與做不到的事那一篇講的就是這條界線。

常見誤解

常見問題

資料來源

• Martingale (betting system)規則、資金與注金上限的分析
• Martingale (probability theory)鞅與可選停止定理：公平賭局裡任何下注系統的期望值都等於起點
• Gambler's ruin本金有限時的破產機率
• Roulette歐式輪盤 37 格、美式 38 格的莊家優勢