凱利公式怎麼推出來的

先問對問題

「怎麼下注才能讓期望獲利最大？」這個問題的答案很無聊：全押。期望值是線性的，押越多期望獲利越大。

問題在於全押會讓你在第一次輸的時候歸零，而歸零之後所有後續的期望值都乘以零。所以真正該問的是另一個問題：怎麼下注才能讓資金的長期成長率最大？

這兩個問題的答案完全不同，而凱利公式回答的是第二個。

為什麼是對數

資金是連乘的：這一輪剩下的錢是下一輪的本金。連乘的東西要看平均，該取的是幾何平均，而幾何平均的對數等於對數的算術平均。

所以「最大化長期成長率」等於「最大化 log(資金) 的期望值」。

設押注比例為 f，賠率的淨賠率為 b，勝率 p、敗率 q = 1 − p：

• 贏了，資金乘上 (1 + b·f)
• 輸了，資金乘上 (1 − f)

要最大化的目標就是 p·log(1 + b·f) + q·log(1 − f)。

一次微分就得到答案

對 f 微分並令其為零：

p·b / (1 + b·f) − q / (1 − f) = 0

整理後得到

f* = (b·p − q) / b

分子 b·p − q 就是「每投注 1 元的期望報酬」，也就是你的優勢。所以這個公式可以讀成：押注比例 = 優勢 ÷ 賠率。

優勢為零時 f* = 0，優勢為負時 f* 是負的——公式在說「押反方向」，而現實中你不能押反方向，所以答案是不下注。

為什麼要打對折

公式假設 p 是正確的。這個假設在賭場遊戲裡成立（機率由規則決定），在運彩裡完全不成立（機率是你猜的）。

而目標函數在最佳點附近很平：押 f*/2 大約保留 75% 的成長率，但波動只有一半。反過來，押 1.5 倍的 f* 會讓成長率下降，波動卻大幅上升——超過 2f* 時成長率甚至變成負的，即使每一注的期望值都是正的。

這個不對稱是關鍵：高估勝率的懲罰遠大於低估的損失。所以在勝率是估計值的情況下，往保守那邊偏是理性的，而不是懦弱。

這就是半凱利與四分之一凱利的理由。凱利公式計算機 會把三種比例同時列出來比較。

用在賭場遊戲上會怎樣

算出負數。

老虎機、百家樂、輪盤的 b·p − q 都是負的（那就是莊家優勢的定義），所以 f* < 0，公式的建議是不要下注。

這不是公式不適用，而是公式給了一個正確且乾脆的答案。凱利公式唯一能說「該押多少」的前提，是你已經確定擁有正期望值——而在商業博弈遊戲裡，那個前提只有在返水與優惠把期望值推正時才成立。

常見問題

資料來源

• Kelly criterion
• Geometric mean為什麼連乘要看幾何平均