期望值是什麼、怎麼算？公式與骰子、抽卡、賭局例題

期望值的定義與公式

期望值（英文 Expected Value，常寫成 E(X)、E[X] 或 μ）是一個隨機結果的機率加權平均：把每一種可能的結果乘上它發生的機率，再全部加起來。

先看一個不用機率的平均。一包 10 顆糖，4 顆 5 元、6 顆 10 元，平均一顆是 (4 × 5 + 6 × 10) ÷ 10 = 8 元。把它改寫成 5 × 0.4 + 10 × 0.6 = 8，就是期望值的算法：0.4 與 0.6 是各種價格所佔的比例，把比例換成機率，就是期望值。

離散型：結果可以一個一個列出來
  E(X) = Σ x · P(X = x)

連續型：結果是一段連續的數值
  E(X) = ∫ x · f(x) dx
  f(x) 是機率密度函數

骰子、抽卡、彩券、賭局的結果都能一個一個列出來，用的都是離散型那一條。

期望值怎麼算：三個步驟

第一步：列出所有可能的結果，以及每個結果對應的數值（點數、贏多少、輸多少）。
第二步：寫出每個結果的機率，並確認加起來剛好等於 1。加起來不是 1，代表漏了結果或機率寫錯。
第三步：每個數值乘上自己的機率，再全部加總。

擲一顆公正的骰子，點數 1 到 6 各有 1/6 的機率：

E(X) = 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + 3 × 1/6 + 4 × 1/6 + 5 × 1/6 + 6 × 1/6 = 21 ÷ 6 = 3.5

骰子沒有 3.5 點，所以這個名字常讓人困惑。期望值不是「期望會出現的那個值」，而是重複很多次之後的平均：擲一萬次、把點數加總再除以一萬，會非常接近 3.5。次數越多越接近，這個現象叫大數法則。

例題：押 100 元、賠 1.9 倍的賭局

押 100 元在一個「50% 機率拿回 1.9 倍、50% 機率全輸」的賭局上：

贏：機率 0.5，淨賺 90 元
輸：機率 0.5，淨損 100 元

期望值 = 0.5 × 90 + 0.5 × (−100) = −5 元。

意思是這一注平均會讓你少 5 元。不是每次少 5 元——單次結果只會是 +90 或 −100——而是重複很多次之後，平均每注少 5 元。

如果賠率是 2.0，期望值 = 0.5 × 100 + 0.5 × (−100) = 0，這才是公平的賭局。實際的盤口只給 1.9，差出來的 0.1 就是平台的收入，也就是你的期望損失。運彩盤口的賠率怎麼換回機率，可以用賠率換算器算。

例題：輪盤、骰寶、百家樂每押 100 元的期望值

同樣的算法套到桌上遊戲。下面每一個都是從遊戲規則直接算出來的：

歐式輪盤押單一號碼：37 格中 1 格、賠 35 倍。期望值 = (35 × 1 − 1 × 36) ÷ 37 × 100 ≈ −2.70 元
骰寶押大：三顆骰子合計 11 到 17 點、而且不是豹子才贏，機率 105/216，賠 1 倍。期望值 = (105 − 111) ÷ 216 × 100 ≈ −2.78 元
百家樂押莊（贏了抽 5% 佣金）：約 −1.06 元
百家樂押閒：約 −1.24 元
百家樂押和（賠 8 倍）：約 −14.36 元

百家樂的三個數字用常見的八副牌規則計算，和局時押莊、押閒退還本金。免佣百家樂、和局賠 9 倍這類變體，數字會不同。

這張清單可以看出三件事：每一個都是負的；同一張桌子上，押法之間可以差到十幾倍；而且沒有任何下注順序能讓它們變正。期望損失換成百分比就是莊家優勢，換算方式見莊家優勢與 RTP，拿這些遊戲打流水的實際成本見遊戲權重對照表。

例題：抽卡機率 0.6%，平均要抽幾次才中？

「單抽中獎機率 p，平均要抽幾次才中第一次」有一個很乾淨的答案：1 ÷ p。這是幾何分布的期望值。

假設單抽出最高稀有度的機率是 0.6%、每一抽互相獨立、沒有保底：

平均要抽 1 ÷ 0.006 ≈ 167 次
抽滿 167 次仍然沒中的機率約 36.6%，三個人裡大約有一個
約一半的人在 116 抽以內就會中，但抽到 500 次還沒中的人仍有約 4.9%

這是期望值最常被誤讀的地方：「平均 167 抽」不代表「抽 167 次就會中」。這個分布往右拖得很長，少數抽很久的人把平均拉高，所以多數人其實比平均早中，少數人晚很多。

有保底機制的遊戲不能直接套這個公式：保底把分布的尾巴截掉，期望次數會比 1 ÷ p 少。刮刮樂、彩券這類遊戲一樣能算期望值，差別在獎項分很多級，要把每一級的「獎金 × 機率」全部加起來（台灣彩券在售各款的結果見刮刮樂期望值排行）；彩票中獎機率計算機會把中不同數量的機率都列出來。

期望值的性質：乘上常數、加上常數、相加

期望值有三條性質，幾乎每一個應用都會用到：

E(c) = c
  常數的期望值就是它自己
E(aX + b) = a · E(X) + b
  乘上 a、加上 b，期望值跟著照做
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
  相加的期望值等於期望值相加
  不需要 X、Y 獨立

相乘就沒有這麼方便：E(XY) = E(X) · E(Y) 只有在 X、Y 獨立時才成立。

放回賭局上看：

押 10 注、每注 100 元：每注期望值 −5 元，10 注的期望值就是 10 × (−5) = −50 元，不管分開押還是同時押。
把注碼加倍：E(2X) = 2 · E(X)，期望損失也跟著變兩倍。加碼改變的是輸贏的幅度，不會把負的變成正的。
多一筆固定手續費 b：期望值直接再減 b。

期望值不預測你這一次：變異數與標準差

期望值 −5 元的賭局，單次結果永遠是 +90 或 −100，永遠不會是 −5。描述「結果離平均有多遠」的，是變異數與它的平方根標準差。

Var(X) = E[(X − μ)²]
       = Σ (x − μ)² · P(X = x)
  其中 μ = E(X)
SD(X) = √Var(X)
Var(aX + b) = a² · Var(X)

同一個押 100 元、賠 1.9 倍的賭局：μ = −5，兩種結果離平均都是 95 元，所以變異數 = 0.5 × 95² + 0.5 × 95² = 9,025，標準差 95 元。擲一顆骰子的變異數則是 35/12，標準差約 1.71 點。

押越多注，平均損失跟著注數等比例變大，標準差卻只跟著注數的平方根變大。所以短期內還有不少人領先，長期幾乎沒有：

押 10 注：平均 −50 元，仍有約 37.7% 的人是賺的
押 100 注：平均 −500 元，約 30.9% 的人是賺的
押 1,000 注：平均 −5,000 元，只剩約 4.7%
押 10,000 注：平均 −50,000 元，還在賺的機率不到百萬分之一

這就是「期望值決定長期、變異數決定過程」的意思。高變異數的遊戲（大獎型老虎機）即使期望值一樣，也可能讓你在走到長期之前就先輸光，那是變異數與賭徒破產機率計算機在回答的問題。

為什麼商業博弈的期望值一定是負的

因為賠率與獎金是被定價過的。上面每一個例子都一樣：只要付出去的比「公平賠率」少一點，少掉的那一點就是平台的收入。老虎機用 RTP 表達同一件事：RTP 96% 代表每投注 100 元，長期平均只回來 96 元。

這個結構沒有辦法用玩法繞過。下注順序、加碼策略、觀察熱機冷機，都不會改變單次事件的機率與賠率，所以也不會改變期望值。能改變它的只有規則之外的錢：返水（按投注額退回的比例）與優惠紅利（多給的錢，但通常綁著流水條件）。一筆優惠到底是正是負，可以用優惠 EV 判定器代入條款算。

怎麼用期望值做決定

期望值不會告訴你「該不該做」，它告訴你代價或報酬平均是多少，讓兩個選項可以放在同一把尺上比。

期望值 −200 元的一段娛樂，意思是它的定價是 200 元。跟一場電影比，可能便宜也可能貴，那是你的判斷。
期望值是正的選擇，只保證重複夠多次時平均是賺的，不保證這一次。
兩個優惠比較時，直接比期望值，不要比紅利金額。

保險是同一件事的反面：保費的期望值對投保人是負的，人們買保險買的是降低變異數，不是期望報酬。

用 Excel 或 Google 試算表算期望值

結果一多，手算容易漏。不想開試算表的話，期望值計算機填金額與機率就能算，還會列出每一種結果貢獻了多少；要自己在試算表裡算，把 A 欄放結果、B 欄放機率、C 欄放數值（輸的金額寫成負數），期望值只要一個函數：

期望值
  =SUMPRODUCT(B2:B7, C2:C7)
機率加總檢查（應該剛好是 1）
  =SUM(B2:B7)
變異數（E2 放上面算出的期望值）
  =SUMPRODUCT(B2:B7, (C2:C7-E2)^2)
標準差（E3 放變異數）
  =SQRT(E3)

這幾個函數在 Excel 與 Google 試算表的寫法相同。結果不只 6 種時，把範圍的 7 改成最後一列。

名字一樣、意思不同的「期望值」

卡方檢定裡的期望值，指的是「如果兩個變數無關，這一格應該出現幾次」的期望次數，算法是該列總數 × 該欄總數 ÷ 總樣本數。它是拿來跟實際次數比較的基準，跟這頁講的機率加權平均不是同一件事。
統計裡的平均數：樣本平均是從實際資料算出來的，期望值是機率分布的理論平均。資料越多，樣本平均越接近期望值。
口語的「期望值很高」，是心理上的期待，跟數學上的期望值無關。

常見誤解

常見說法期望值就是最有可能出現的結果。

實際上最有可能出現的叫眾數。骰子每一點的機率都一樣，期望值 3.5 卻一次都擲不出來。

常見說法連輸好幾把之後，下一把的期望值會變好。

實際上每一把互相獨立時，機率與賠率都沒變，期望值也不會變。這是賭徒謬誤。

常見說法輸了就加倍下注，可以把期望值拉回來。

實際上E(2X) = 2 · E(X)。注碼加倍，期望損失也加倍；倍投改變的只是輸贏發生的形狀，算例見馬丁格爾策略為什麼會輸。

常見問題

期望值的英文是什麼？符號怎麼寫？

英文是 Expected Value，常簡稱 EV。符號寫成 E(X) 或 E[X]，也常用希臘字母 μ 表示；中文也叫數學期望。

期望值和平均數一樣嗎？

期望值是機率分布的理論平均；平均數通常指實際資料算出來的樣本平均。重複的次數越多，樣本平均會越接近期望值，這是大數法則。

期望值和 RTP 是同一件事嗎？

密切相關但不同。RTP 是比例（每投注 1 元平均回來多少），期望值是金額（這一筆下注平均會少多少）。期望損失 = 投注額 × (1 − RTP)。

期望值是正的就一定會賺嗎？

不是。正期望值只保證重複夠多次的平均為正。次數不夠多、或中途資金用完，都可能走不到那個平均。這是變異數的問題，不是期望值的問題。

為什麼算期望值要用機率，我又不知道真實機率？

老虎機與桌上遊戲的機率由規則決定，可以直接算或由 RTP 反推。運彩沒有已知的真實機率，只能用盤口的隱含機率當代理值——那正是賠率換算器在做的事。

卡方檢定的期望值怎麼算？

卡方檢定的期望值是每一格的「期望次數」：該列總數 × 該欄總數 ÷ 總樣本數。它跟機率加權平均的期望值名字相同、用途不同，是拿來和實際觀察到的次數比較的。

資料來源

Expected value定義、離散與連續型公式、線性性質
Variance變異數與 Var(aX+b) = a²Var(X)
Geometric distribution抽卡例題的期望次數 1 ÷ p
Law of large numbers樣本平均為什麼會接近期望值
Baccarat百家樂押莊、押閒、押和的莊家優勢
Pearson's chi-squared test卡方檢定的期望次數

期望值是什麼、怎麼算，為什麼它決定一切