期望值計算機

算式

期望值 = Σ（每一種結果的金額 × 它的機率）− 每次先付
  機率沒填滿 100% 的部分，金額當作 0
  機率合計在 99.95%–100.05% 之間，視為四捨五入誤差，按比例調成 100%

返還率 = Σ（金額 × 機率）÷ 每次先付

μ = Σ（金額 × 機率）
變異數 = Σ（金額 − μ）² × 機率
  沒填滿的那一部分也是一種結果（金額 0），要一起算
  每次先付是固定的，不影響變異數
標準差 = √變異數

重複 n 次
  期望值合計 = n × 期望值
  合計的標準差 = 標準差 × √n

另外 17 台計算機的算式列在公式總覽； 每一條算式怎麼驗、發現錯誤怎麼更正，寫在算式與更正政策。

以預設值為例

每次的期望值

-30元

重複後的期望值合計

-3,000元

返還率

70%

變異數

221,100元²

單次標準差

470.21元

假設一種每次先付 100 元的抽獎，拿得回錢的結果有三種：10,000 元（機率 0.2%）、1,000 元（2%）、200 元（15%），其餘 82.8% 什麼都沒有。每次的期望值是 −30 元，返還率 70%，也就是每付 100 元平均拿回 70 元。表格最後一欄是每一種結果貢獻了多少：10,000 元那一獎貢獻 20 元，但它的機率只有 0.2%，玩 100 次都沒遇到它的機率是 81.9%。重複 100 次的期望值合計 −3,000 元；單次標準差 470.21 元，是期望值的十五倍多——短期的輸贏幾乎由運氣決定。

計算假設

• 每一種結果要互斥，一次只會發生其中一種。同一次可能同時拿到兩個獎的遊戲，先照規則拆成互斥的結果再填，例如「只中 A」「只中 B」「A 和 B 都中」。
• 機率沒填滿 100% 的部分一律當作「拿回 0 元」。合計在 99.95% 到 100.05% 之間視為四捨五入誤差，按比例調成剛好 100%；超過 100.05% 不計算。
• 每一次互相獨立、機率不變。刮刮樂這類整批張數固定的遊戲，單張的期望值一樣這樣算；但同一批買很多張時各張不完全獨立，實際的標準差會比這裡略小。
• 沒有計入稅。台灣的彩券每注獎額超過 5,000 元，要按全額扣 20% 分離課稅，用現金或轉帳領還會代扣千分之四印花稅；想算稅後的期望值，先用中獎扣稅試算把那一獎換成稅後金額再填。
• 機率與派彩要自己填，本站不列任何平台的賠率或獎金數字。規則公開的遊戲算得出精確的期望值，估出來的機率只能得到估出來的期望值。

金額要填「拿回多少」還是「淨贏多少」

兩種寫法都可以，算出來的期望值一樣，差別只在「每次先付」那一格填不填。

假設一個押 200 元的賭局，中了拿回 500 元（含本金），機率 38%：

• 寫拿回的總額：每次先付 200，結果 1 拿回 500、機率 38%，其餘 62% 自動當成拿回 0。期望值 = 500 × 0.38 − 200 = −10 元，返還率 95%。
• 寫淨輸贏：每次先付 0，結果 1 淨贏 300、機率 38%；結果 2 輸 200、金額填 −200、機率 62%。期望值 = 300 × 0.38 − 200 × 0.62 = 114 − 124 = −10 元。

兩種寫法的標準差也一樣，都是 242.69 元：先付的錢每次都一樣，只會把所有結果一起往下平移，不會讓它們散得更開。

唯一的差別是返還率。它是「拿回 ÷ 先付」，只有填了「每次先付」才算得出來，用淨輸贏的寫法時那一格會是破折號。刮刮樂、抽獎、彩券這類先付錢再開獎的遊戲，用第一種寫法最直覺，連「沒中」都不必自己列。

機率從哪裡來

期望值只跟填進去的機率一樣準。不同遊戲的機率來源差很多：

• 規則決定的遊戲：骰子、輪盤、百家樂的機率可以從規則直接算，算出來就是精確值。
• 彩券：號碼池與開獎數都公開，彩票中獎機率計算機會把中 0 到 n 個的機率全部列出來，每一個獎級在這裡佔一列。
• 刮刮樂與抽獎：主辦單位公布總張數與每一獎的張數時，機率 = 該獎張數 ÷ 總張數。總共 1,000,000 張、某一獎 2,000 張，機率就是 0.2%。台灣彩券在售的刮刮樂已經照這個方法算好，見 刮刮樂期望值排行。
• 運彩：沒有公開的真實機率。直接拿盤口的隱含機率去算，期望值一定剛好是 0——那只是把賠率換回去而已。要先用賠率換算器去掉抽水，才看得到抽水的成本；想知道自己有沒有優勢，得有比盤口更準的機率估計。
• 老虎機：機台不公布每一種結果的機率，只公布 RTP，直接用 RTP 期望值試算從 RTP 算期望損失。

估出來的機率只能得到估出來的期望值。憑感覺填機率而算出正的期望值時，比較可能錯的是感覺，不是數學。

期望值是負的，為什麼總有人中大獎

因為平均值裡有一大塊是被罕見的大獎撐起來的，而大多數人碰不到那一塊。

結果卡的表格最後一欄就是在拆這件事：每一種結果的「金額 × 機率」各貢獻了多少。如果最大的一格來自機率最低的那一獎，這個遊戲的平均就是少數中獎的人撐起來的，多數人實際拿回的會比平均少。變異數那一篇講的「中位數低於平均值」，是同一件事。

「玩 n 次都沒遇到它」的機率可以精確算出來，就是 (1 − p) 的 n 次方，p 是那一獎的機率。以一個機率 0.1% 的獎為例：

• 玩 500 次都沒遇到的機率是 60.6%
• 玩 2,000 次都沒遇到的機率還有 13.5%

所以「有人中大獎」跟「期望值是負的」一點都不衝突。中大獎的那個人是真的，只是他那一筆早就算在平均裡了，而其他人付出去的比他拿走的多。

要玩幾次，期望值才會蓋過運氣

重複 n 次時，合計的期望值是 n × 期望值，合計的標準差卻只有標準差 × √n。前者跟著次數等比例長大，後者慢得多，兩者總有交叉的時候。

交叉點可以直接算：n = (標準差 ÷ 期望值)²。玩到這個次數，合計的期望損失才追上合計的標準差；在那之前，輸贏的幅度主要由運氣決定。

用上面押 200 元、機率 38% 的例子：標準差 242.69 元、期望值 −10 元，交叉點是 (242.69 ÷ 10)² ≈ 589 次。前幾十次輸贏都很正常，玩到數百次以上，−10 元的定價才開始清楚地顯現出來。

大獎型的遊戲交叉點會晚得多。標準差被罕見的大獎拉得很大，期望值卻不會跟著變，這也是為什麼彩券玩一輩子都可能還沒「玩到長期」。

常見誤解

常見問題

資料來源

• Expected value期望值的定義與線性性質
• Variance變異數、標準差，以及加上常數不改變變異數
• Geometric distribution「玩 n 次都沒遇到」的機率是 (1 − p) 的 n 次方

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